cours puissance 3eme annee college pdf

I- Puissance d’un nombre réel

1-2/ Puissances à exposant négatif

Soient a et b deux nombres réels non nuls et n un nombre entier naturel :

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}et{\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n$

Exemples

I- Puissance d’un nombre réel

1-3/ Le signe d’une puissance

Soit a un nombre réel et n un nombre entier non nul.

Si n est paire, alors $a^n$ est toujours positif quel que soit le signe de a.

Si n est impaire, alors :

• Si a est positif, alors $a^n$ est positif.
• Si a est négatif, alors $a^n$ est négatif.

Remarques importantes

Exemples

II- Règles de calculs sur les puissances

2-1/ Propriétés

soient a et b deux nombres réels non nuls, n et m deux entiers naturels.

Produit de deux puissances de même base :

$a^n\times a^m=a^{n+m}$

Produit de deux puissances de même exposant :

$a^n\times b^n={(a\times b)}^n$

Quotient de deux puissances de même base :

$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

Quotient de deux puissances de même exposant :

$\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$

Puissance d’une puissance :

${\left(a^n\right)}^m=a^{n\times m}$

Exemples

III- Puissance de 10

3-1/ Propriétés

Exemples

IV- Écriture scientifique

4-1/ Définition

Exemples

V- Exercices

5-2/ Exercice 2

$a$ et $b$ deux nombres réels non nuls tel que $a\ne 3$.

Simplifier les expressions suivantes :

$A={[1+{\left(\frac{3-a}{1+a}\right)}^{-1}]}^{-1}=B=\frac{2a^5}{3a^4}\times \frac{a^{11}}{2a^2}\times \frac{a^3}{7a^{-3}}=C=\frac{a^{-5}\times b^{-3}\times a^{-2}}{a^{-3}\times {\left(b^{-2}\right)}^3}=D=\frac{{\left(a^2\right)}^{-2}\times {\left(a^3\right)}^{-3}}{{\left(a^2\right)}^{-3}}=$

V- Exercices

5-3/ Exercice 3

Trouver l’écriture scientifique des nombres suivants :

$a=2517,301\times {10}^{51}=b=-0,000069\times {10}^{23}=c=113\times {10}^5+7,2\times {10}^7=d=\frac{0,5\times {\left({10}^{-3}\right)}^{-2}\times {\left(100\right)}^{-2}\times {(0,002)}^2}{4\times {10}^{-4}\times {(0,001)}^{-3}}=e=\frac{3,2\times {10}^{-1}\times 5\times {\left({10}^2\right)}^3}{4\times {10}^{-2}}$

V- Exercices

5-4/ Exercice 4

1. Déterminer la valeur du nombre entier naturel n tel que :

$\frac{9^{2n-1}\times 3^{n+1}}{{27}^{n+3}}=81$

2. Prouver que le nombre K est un entier naturel :

$k={12}^{100}\times {\left(\frac{3}{2}\right)}^{50}\times 6^{-149}$

3. Montrer que :

${333333}^2+{444444}^2={555555}^2$

4. Calculer :

$M=\frac{3^2\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}\times 5}{{\left(\frac{120}{700}\right)}^0\times 3\times {\left(\frac{1}{5}\right)}^{-1}}$